DIFRENSIAL

DIFERENSIAL

1.    Rumus-rumus diferensiasi dari fungsi aljabar

Jika u, v, dan w adalah fungsi-fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka :

a.    (c) = 0, dimana c = konstanta

b.    (x) = 1

c.    (u + v + … ) = (u) + (v) + …

d.    (c u) = c (u), dimana c = konstanta

e.    (u . v) = u  (v) + v  (u)

f.     (u.v.w) = uv (w) + uw (v) + vw (u)

g.     = c.  =   (u), dimana u ≠ 0, c = konstanta

h.     = (u)

i.      = n x^n-1

j.       = n un^-1

k.     =

2.    Atutan rantai

Jika y = f(u) adalah fungsi dari u yang dapat ddiferensialkan dan u = g(x) adalah fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka :

3.    Diferensiasi Implisit

Suatu persamaan f(x, y) = 0

Untuk menentukan  digunakan proses diferensiasi implisit, adapun langkah-langkahnya :

a.    Pandang y sebagai fungsi dari x

b.    Diferensialkan persamaan yang diberikan terhadap x

c.    Selesaikan hubungan hasilnya untuk

Contoh

Diberikan : xy + x² – 2 xy + y² – 5 = 0

Diferensialkan persamaan ini terhadap x, dengan memandang y sebagai fungsi dari x

Solusi

(xy) + (x²) - (2 yx) + (y²) - (5) = (0)

x  + y + 2x – 2x  - 2y + 2y  - 0 = 0

(x – 2x + 2y)  = 2y – y – 2x

        (2y – x)  = y – 2x

                  

Apabila diperlukan derivative order yang lebih tinggi maka  = g (x,y) didiferensialkan lagi terhadap x, dan selanjutnya gantilah  menurut hubungan yang baru diperoleh.

Contoh

Dari contoh di atas :

Kemudian

           =

           =

           =

           = …

4.    Diferensiasi dari fungsi Trigonometri

Jika u adalah fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka :

a.    (sin u) = cos u (u)

b.    (cos u) = - sin u (u)

c.    (tan u) = sec² u (u)

d.    (cot u) = - cosec² u (u)

e.    (sec u) = sec u tan u (u)

f.     (cosec u) = – cosec u cot u (u)

5.    Diferensiasi dari invers fungsi Trigonometri

Jika u adalah fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka :

a.    (arc sin u) =   (u)

b.    (arc cos u) = -   (u)

c.    (arc tan u) =   (u)

d.    (arc cot u) = -   (u)

e.    (arc sec u) =   (u)

f.     (arc cosec u) = –   (u)

6.    Diferensiasi dari fungsi logaritma dan eksponensial

Jika u adalah fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka :

a.    (^alog u) =  ^alog e (u), (a > 0, a ≠ 1)

b.    (a^u) = a^u ln a (u), (a > 0)

c.    (e^u) = e^u (u)

d.    (ln u) =   (u)

7.    Diferensiasi dari fungsi hiperbolik

Jika u adalah fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka :

a.    (sinh u) = cosh u (u)

b.    (cosh u) = - sinh u (u)

c.    (tanh u) = - sech² u (u)

d.    (coth u) = - cosech² u (u)

e.      (sech u) = - sech u tanh u (u)

f.     (cosech u) = -cosech u coth u (u)

8.    Diferensiasi dari invers fungsi hiperbolik

Jika u adalah fungsi dari x yang dapat didiferensialkan, maka :

a.    (sinh^-1 u) = (u)

b.    (cosh^-1 u) = (u), (u > 1)

c.    (tanh^-1 u) = (u), (u² < 1)

d.    (coth^-1 u) = (u), (u² > 1)

e.    (sech^-1 u) = (u), (0 < u < 1)

f.     (cosech^-1 u) = (u), (u ≠ 0)

A.   INTEGRASI

1.    Rumus-rumus integrasi dasar

A		O
B		P
C		Q
D		R
E		S
F		T
G		U	…
H		V	…
I		W	…
J		X	…
K		Y	…
L		Z	…
M		Aa	…
N		Ab	…

Ada dua aturan untuk menghitung integral , yaitu :

a.    Bagian yang dipilih sebagai dv harus siap dapat diintegralkan

b.     harus tidak lebih rumit daripada

2.    Integral Trigonometri

Untuk menemukan integral trigonometri digunakan aturan identitas fungsi trigonometri sebgai berikut :

a.    Sin² x + cos² x = 1

b.    1 + tan² x = sec² x

c.    1 + cot² = cosec² x

d.    Sin x cos y = ½ [sin (x – y) + sin (x + y)]

e.    Sin x sin y = ½ [cos (x – y) – cos (x + y)

f.     Cos x cos y = ½ [cos (x – y) + cos (x + y)]

g.    1 ± sin x = cos (½π – x)

h.    Cos(-x) =cos x

i.     Sin(-x) = -sin x

Dengan menggunakan aturan identitas di atas dan rumus-rumus integral didepan, integral trigonometri dapat diselesaikan.

3.    Integrasi fungsi pecahan rasional

Suatu fungsi F(x) = , dimana f(x) dan g(x) merupakan polynomial, dinamakan suatu pecahan rasional.

Jika derajat dari f(x) adalah lebih besar atau sama dengan derajat dari g(x), maka F(x) dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari suatu polinomial dan suatu fungsi pecahan rasional dimana derajat pembilangnya adalah lebih kecil daripada derajat penyebutnya.

Dari sini, ∫F(x) dx baru dapat dihitung dengan menggunakan rumus-rumus integrasi yang ada.

Contoh

Maka :

Jika derajat dari f(x) adalah lebih kecil dari pada derajat g(x), maka ditinjau tentang keadaan faktor-faktor dari g(x). Ada 4 kemungkinan keadaan faktor-faktor tersebut :

a)    Faktor-faktor linier berbeda

Jika ada n faktor linier dari g(x) yang berbeda, maka :

 dimana A₁, A₂, …, A_n adalah konstanta untuk ditentukan dengan menggunakan aturan kesamaan koefisien.

b)   Jika ada n faktor linier dari g(x) yang sama, maka :

  dimana A₁, A₂, …, A_n adalah konstanta untuk ditentukan dengan menggunakan aturan kesamaan koefisien.

c)    Faktor kwadratik irreducible yang berbeda

Jika ada n faktor kwadratik irreducible dari g(x) yang berbeda, maka :

 dimana A₁, A₂, …, A_n, B₁, B₂, …, B_n  adalah konstanta untuk ditentukan dengan menggunakan aturan kesamaan koefisien.

d)   Jika ada n faktor kwadratik irreducible dari g(x) yang sama, maka :

dimana A₁, A₂, …, A_n, B₁, B₂, …, B_n  adalah konstanta untuk ditentukan dengan menggunakan aturan kesamaan koefisien.

     Apabila faktor-faktor dari g(x) merupakan perpaduan diantara keempat kemungkinan di atas, maka cara yang dipakai untuk menguraikan  kedalam jumlahan seperti di atas adalah juga sama tergantung keadaan faktor-faktornya.

4.    Integrasi fungsi irrasional

Untuk mengintegralkan fungsi irrasional dapat melalui dua cara yaitu :

·         Dibawa ke bentuk rumus-rumus integrasi yang ada

·         Menggunakan substitusi sedemikian sehingga merubah bentuk irrasional menjadi bentuk rasional

a.    Substitusi Trigonometri

Jika integran (fungsi yang akan dicari integralnya)

Ø  Berbentuk     :  , a dan b adalah konstanta

Substitusi      :

Didapatkan   :  = a cos z, atau

Substitusi      :

Didapatkan   :  = a sin z

Ø  Berbentuk     :

Substitusi      :

Didapatkan   :  = a sec z

Ø  Berbentuk     :

Substitusi      :

Didapatkan   :  = a tan z

b.    Substitusi Alajabar

Jika integran

Ø  Berbentuk          :

Substitusi          : ax + b = zⁿ 

Ø  Berbentuk          :

Substitusi          :c + bx + x² = (z – x)²

Ø  Berbentuk          :

Substitusi          : c + bx – x² = z² atau

                          c + bx – x² = z² 

5.    Integrasi fungsi sin x dan cos x

Dengan substitusi x = 2 arc tan z, didapatkan bahwa : sin x = , cos x =  dan dx = , hubungan itu dapat digambarkan :

1 + z2

1 - z2

x

2z

 

Setelah proses integrasi selesai, gunakan z = tan , untuk mengembalikan ke variabel semula.

6.    Integrasi dari fungsi hiperbolik

	…
	…
	…
	…
	…
	…

Persamaan Diferensial Biasa

A.   ORDE (TINGKAT) DAN DEGREE (DERAJAT)

Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan berbentuk : F(x, y, y’, y”, …, y⁽ⁿ⁾) = 0 yang menyatakan hubungan antara perubah bebas x, perubah tak bebas y(x) dan turunannya yaitu y’, y”, …, y⁽ⁿ⁾.

Jadi suatu persamaan diferensial disebut mempunyai orde (tingkat) n jika turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu adalah turunan ke-n.

Dan suatu persamaan diferensial disebut mempunyai degree (derajat) k jika turunan yang tertinggi dalam persamaan diferensial itu berderajat K

Contoh.

1.    x  + 5y = 6; orde satu, derajat Satu

2.    ; orde 3, derajat Satu

3.     orde tiga, derajat dua

B.   MENCARI PERSAMAAN DIFERENSIAL

Langkah-langkah mencari persamaan diferensial :

1.    Hitunglah banyaknya konstanta sembarang yang ada didalam persamaan garis lengkung (kurva) yang akan dicari persamaan diferensialnya

2.    Hilangkan semua konstanta sembarang itu dengan cara mengeliminasi semua konstanta sembarang itu

Jika banyaknya konstanta sembarang ada n maka untuk mengeliminasi semua konstanta sembarang yang ada dibutuhkan n + 1 persamaan.

Untuk mendapatkan n + 1 persamaan, persamaan garis lengkung (kurva) semula dideferensialkan.

3.    Banyaknya konstanta sembarang menunjukkan order tertinggi dalam persamaan diferensial yang dicari

C.   CONTOH

Carilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung :

1.    Y = C e^-4x, C adalah konstanta sembarang

2.    Y = A sin 3x + B cos 3x, A dan B adalah konstanta sembarang

3.    Y = x³ + A x² + Bx + C; A, B, dan C adalah konstanta sembarang

Solusi

1.    Karena hanya ada satu konstanta sembarang C, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk mengeliminasi C tersebut dan order tertinggi dari turunannya adalah satu

Persamaan 1 : y = C e^-4x, turunkan terhadap x, diperoleh

Persamaan 2 : y =  

Dari persamaan 1, C = y e^4x. Maka persamaan 2 menjadi :

   sehingga

Jadi persamaan diferensial yang dicari adalah :

2.    Karena ada 2 konstanta sembarang (A dan B) maka dibutuhkan tiga persamaan untuk mengeliminasi A dan B serta order tertinggi dari turunannya adalah dua.

Persamaan 1 : y = A sin 3x + B cos 3x, turunkan terhadap x,  diperoleh :

Persamaan 2 :  = 3A cos 3x – 3B sin 3x, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 3 :  = -9A sin 3x – 9B cos 3x

Dari persamaan 1 dan 3 didapatkan bahwa  + 9y = 0

3.    Karena ada 3 konstanta sembarang (A, B, dan C)

Maka dibutuhkan empat persamaan untuk mengeliminasi A, B dan C serta order tertinggi dari turunannya adalah tiga

Persamaan 1 : y = x³ + Ax² + Bx + C, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 2 :  = 3x² + 2Ax + B, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 3 :  = 6x + 2A, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 4 :  = 6

Jadilah persamaan diferensial yang dicari adalah  = 6

D.   TUGAS MANDIRI

1.    Carilah persamaan diferensial dari r = a(1 – cosφ), jika a adalah konstanta sembarang

2.    Carilah persamaan diferensial dari :

a.    Keluarga lingkaran dengan jari-jari r tetap yang berpusat pada sumbu x (Misal gunakan (x – c)² + y² = r² )

b.    Keluarga lingkaran dengan jari-jari r berubah (variable) yang berpusat pada sumbu x (Misal gunakan (x – c)² + y² = r² )

c.    Semua lingkaran di bidang (Misal gunakan x² + y² – 2Ax – 2By + c = 0)

3.    Dapatkan persamaan diferensial yang berhubungan dengan fungsi primitive yang diberikan, dimana A dan B adalah konstanta sembarang :

a.    Y = A e^x + B

b.    x = A sin (y + B)

P. D. Biasa

Orde Pertama Derajat Pertama

E.   PERSAMAAN DIFERENSIAL VARIABEL-VARIABEL TERPISAH

Bentuk PD : f(x) dx + g(y) dy = 0

Penyelesaian Umum PD adalah :

∫f(x) dx + ∫g(y) dy = c, c adalah konstanta sembarang

Contoh.

Selesaikan PD berikut : x⁵ dx + (y + 2)² dy = 0

Solusi

Karena variabel-variabelnya telah terpisah maka langsung diintegrasikan bagian demi bagian :

∫x⁵ dx + ∫(y + 2)² dy = 0

x⁶ + (y + 2)³ = k

x⁶ + 2(y + 2)³ = 6k atau x⁶ + 2(y + 2)³ = c, dimana c = 6k

 Penyelesaian umum PD itu adalah x⁶ + 2(y + 2)³ = c

         

          Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut : 9y  + 4x = 0

F.    REDUKSI KE VARIABEL-VARIABEL TERPISAH

Bentuk PD : f₁(x) g₁(y) dx + f₂(x) g₂(y) dy = 0

Direduksi dengan faktor integral , menjadi :  dx +  dy = 0

Karena telah berubah menjadi PD variabel-variabel terpisah maka penyelesaian umum PD adalah :

, c adalah konstanta sembarang

Contoh.

Selesaikan PD berikut : (1 + 2y) dx + (x – 4) dy = 0

Solusi

Faktor integrasi =  sehingga PD tersebut tereduksi menjadi :

⇔  +

⇔  +  (gunakan rumus integrasi B.E)

⇔ ln |x – 4| + ½ ln |1 + 2y| = k

⇔ 2 ln |x – 4| + ln |1 + 2y| = 2k

⇔ ln (x – 4)² + ln (1 + 2y) = ln, dimana c = e^2k

⇔ (x – 4)² (1 + 2y) = c

 Penyelesaian umum PD adalah (x – 4)² (1 + 2y) = c

TUGAS MANDIRI 2

 

Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut :

a.   xy dx + (1 + x²) dy = 0

b.   (xy + x) dx + (xy – y) dy = 0

c.   

G.   PERSAMAAN HOMOGEN

Suatu fungsi f(x, y) dikatakan homogen berderajat n jika f(λx, λy) = λn f(x, y)

Pandang bentuk PD : M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

Syarat PD di atas dikatakan homogen jika M(x, y) dan N(x, y) adalah homogen dan berderajat sama.

Langkah-langkah menentukan penyelesaian umum PD :

1.    Gunakan transformasi : y = ux, dy = x du + u dx atau x = uy, dx = y du + u dy

2.    PD homogen tereduksi ke PD variabel-variabel terpisah

3.    Gunakan aturan dalam PD variabel-variabel terpisah untuk mendapatkan solusi umum PD

4.    Gantilah u =  , jika menggunakan transformasi y = ux dan u = , jika menggunakan transformasi x = uy untuk mendapatkan kembali variabel semula.

Contoh

Selesaikan PD berikut : 2x dy – 2y dx =

Solusi

2x dy – 2y dx =

(2y + ) dx – 2x dy = 0

Periksalah apakah homogen ?

M(x, y) = (2y + )

M(λx,λy) = 2λy +

             = λ (2y +  ) = λ. M(x, y)

N(x, y) = -2x

N(λx, λy) = -2 λx = λ (-2x) = λN(x, y)

Jadi PD di atas adalah PD homogen berderajat 1

Transformasi : y = ux, dy = u dx + x du

Bentuk PD berubah menjadi :

⇔  dx -2x² du = 0

⇔  dx -2x² du = 0

Dengan faktor integrasi :  PD tereduksi menjadi

⇔

⇔

Dengan mengintegralkan, diperoleh solusi umum PD variabel-variabel terpisah

⇔

(Gunakan rumus integrasi B.W)

⇔ ln |x| - ln (2u + ) = k

⇔ ln (2u + ) = ln c + ln |x|, dimana c = e^k

⇔ 2u +  = cx

⇔  = cx – 2u

⇔ 1 + 4u² = (cx -2u)²

⇔ 1 + 4u² = c²x² – 4cxu + 4u²

⇔ 1 + 4cxu – c²x² = 0

Untuk mendapatkan solusi umum PD homogen, gantilah u dengan  

⇔ 1 + 4cy – c²x² = 0

 Penyelesaian umum PD homogen adalah : 1 + 4cy – c²x² = 0

TUGAS MANDIRI 3

      

Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut :

a.   (x + 2y) dx + (2x + 3y) dy = 0

b.   (y² – x²) dx + xy dy = 0

c.    (x³ + y³) dx + 3xy² dy = 0

d.   (1 + 2e^x/y) dx + 2e^x/y (1 - )dy = 0

H.   PERSAMAAN DIFERENSIAL DENGAN M(x,y) DAN N(x,y) ADALAH LINIER TETAPI TIDAK HOMOGEN

Bentuk PD : (ax + by + c) dx + (px + qy + r) dy = 0

Ada tiga kemungkinan yaitu :

1.   

Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD

a.    Karena , maka gunakan transformasi px + qy + r = u, yang berarti bahwa ax + by + c = λu

b.    Bentuk PD menjadi : λu dx + u dy = 0

      λ dx + dy = 0

c.    Tereduksi menjadi PD variabel-variabel terpisah

d.    Penyelesaian PD : λ∫ dx + ∫ dy = c

    λx + y = c, dimana c adalah konstanta sembarang

2.     

Langkah-langkah mendapatkan PD :

a.    Gunakan transformasi : px + qy = u, dy =  atau dx =

b.    Misalnya , maka ax + by = µu

c.    Bentuk PD menjadi (µu + c) dx + (u + r)  = 0, atau

(µu + c)  +(u + r) dy = 0

d.    Tereduksi menjadi PD variabel-variabel terpisah

e.    Gantilah u = px + qy untuk mendapatkan kembali variabel semula dalam penyelesaian umum PD.

3.   

Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD :

a.    Gunakan transformasi :

ax + by + c = u  a dx + b dy = du

px + qy + r = v  p dx + q dy = dv

diperoleh :

b.    Bentuk PD menjadi :

Karena aq – bp  0, maka : (qu – pv) du + (av – bu) dv = 0

Merupakan PD homogen

c.    Selesaikan PD homogen tersebut dengan langkah-langkah yang tertera dalam C

d.    Gantilah u dan v dengan transformasi semula untuk mendapatkan kembali variabel semula

Contoh

Selesaikan PD berikut : (2x – 5y + 2) dx + (10y – 4x – 4) dy = 0

Solusi

Dari bentuk PD diperoleh bahwa :

a = 2, b = -5, c = 2, p = -4, q = 10, r = -2, sehingga : 

Transformasi : 10y – 4x – 4 = u, maka 2x – 5y + 2 =  u.

Bentuk PD berubah menjadi :

 u dx + u dy = 0

⇔  dx + dy = 0

⇔  ∫dx + ∫dy = k

⇔  x + y = k

⇔  x - 2y = c, dimana (c = -2k)

 Penyelesaian umum PD adalah : x – 2y = c

TUGAS MANDIRI 3

 

Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut :

a.   (3x + 2y + 1) dx - (3x + 2y - 1) dy = 0

b.  

c.    (2x – 5y + 3) dx – (2x + 4y – 6) dy = 0

d.   (3y – 7x + 7) dx + (7y – 3x + 3) dy = 0

I.    BENTUK PD : y.f(xy) dx + x.g(xy) dy = 0

Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD :

1.    Gunakan transformasi : xy = z, y = , dy =

2.    Bentuk PD itu tereduksi ke bentuk PD variabel-variabel terpisah

3.    Selesaikan PD baru ini dan gantilah z = xy untuk mendapatkan kembali variabel semula

Contoh

Selesaikan PD berikut : (xy² + y) dx + (x²y – x) dy = a

Solusi

Bentuk PD di atas dapat ditulis dalam bentuk PD y(xy + 1) dx + x(xy – 1) dy = 0

Transformasi z = xy

y = , dy =  

Bentuk PD tereduksi menjadi :

⇔  (z + 1) dx + x (z – 1)  = 0

⇔ (z2 + z – z2 + z) dx + x(z – 1) dz = 0

⇔ 2z dx + x(z – 1) dz = 0

Dengan faktor integrasi , PD tereduksi menjadi PD variabel-variabel terpisah :

⇔  dx +  dz = 0

⇔   dx +  dz = 0

Dengan mengintegralkan bagian demi bagian akan diperoleh solusi umum PD variabel-variabel terpisah

⇔ 2  dx + ∫dz -  dz = k

⇔ 2 ln |x| + z – ln |z| = k

⇔ ln  = ln c₁ e^-z

⇔ x² = z c₁ e^-z

Gantilah z dengan yx untuk mendapatkan solusi umum PD semula

⇔ x² = yxc₁ e^-xy

⇔ y = cx e^xy, dimana c =

 Penyelesaian umum PD adalah y = cx e^xy

 

Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut :

a.   Y(1 + 2xy) dx + x(1 – xy) dy = 0

b.   (xy² + y) dx + (x + x²y + x³y²) dy = 0

J.    PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK

Bentuk PD : M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 dikatakan PD eksak jika  mempunyai penyelesaian umum f(x, y) = c.

Langkah-langkah menemukan suatu fungsi f(x, y)

1.    Perhatikan bahwa :  = M(x, y) dan  = N(x, y)

2.    Integrasikan M(x, y) terhadap x dengan y tetap.

F(x, y) =∫M(x, y) dx + y

Dimana y adalah fungsi sembarang dari y saja

3.    Fungsi f(x, y) dalam langkah ke 2, didiferensialkan parsial terhadap y diperoleh ;

4.    Karena  = N(x, y) maka :  dari sini (y) dapat diperoleh

5.    (y) yang baru saja diperoleh disubstitusikan ke f(x, y) dalam langkah ke 2. Dengan deminkian f(x, y) = c diperoleh

Catatan

Dari langkah ke 2 dapat diintegrasikan N(x, y) terhadap y dengan x tetap. Langkah selanjutnya adalah sama, hanya peranan x diganti y (atau sebaliknya)

Contoh

Selesaikan PD berikut : (x² – y) dx – x dy = 0

Solusi

M = (x² – y),  

N = -x,

Karena    maka PD eksak

F(x, y) = c

Karena  = M maka f(x, y) = ∫_x (x² – y) dx =  - yx + (y)

Dimana (y) adalah fungsi sembarang dari y saja.

[∫_x berarti integral terhadap x dengan y tetap]

Langkah selanjutnya, mencari (y), dengan cara mendeferensialkan parsial terhadap y dan diperoleh :  - x +   (y)

Karena  = N, maka –x +    (y) = -x

                              ⇔     (y) = 0

                             ⇔   (y) = k (konstanta)

Sehingga f(x, y) =   - yx + k

                       = c

 Penyelesaian umum PD eksak ini adalah    - yx = c

 

Cobalah untuk menyelesaikan PD berikut :

a.   (x² + y²) dx + 2 xy dy = 0

b.   (2x + e^y) dx + x e^y dy = 0

c.    (x + y cos x) dx + sin x dy = 0

d.   (x + y + 1) dx – (y – x + 3) dy = 0

e.   (2x + 3y + 4) dx + (3x + 4y + 5) dy = 0

K.   REDUKSI KE PERSAMAAN DIFERENSIAL EKSAK

Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 adalah persamaan tidak eksak dan dapat ditemukan suatu fungsi µ(x, y) sedemikian sehingga PD : µ(x, y) [M(x, y) dx + N(x, y) dy] = 0 merupakan PD eksak maka fungsi µ(x, y) dinamakan faktor integrasi dari PD di atas.

Ada beberapa jenis factor integrasi antara lain :

1.    Jika  = f(x) suatu fungsi dari x saja, maka _e∫f(x) dx adalah suatu faktor integrasi PD itu.

2.    Jika  = - g(y) suatu fungsi dari g saja, maka _e∫g(y) dy adalah suatu factor integrasi dari PD itu.

3.    Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 merupakan PD homogen dan xM + yN ≠ 0, maka  adalah suatu faktor integrasi PD tersebut.

4.    Jika M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 dapat ditulis didalam bentuk y f(xy) dx + x g(xy) dy = 0 dimana f(xy) ≠ g(xy), maka  adalah suatu faktor integrasi PD itu.

5.    Persamaan x^p y^q (my dx + nx dy) + x^r y^s (uy dx + vxd y) = 0 dimana p, q, r, s, m, n, u, v, adalah konstanta  dan mv – nu ≠ 0 mempunyai faktor integrasi berbentuk .

6.    Faktor integrasi yang lain biasanya ditentukan dengan cara mencoba-coba sedemikian sehingga pada kelompok bagian tertentu dapat menjadi diferensial eksak.

Misalnya

Kelompok bagian	Factor integrasi	Diferensial eksak
(x dy – y dx)
(x dy – y dx)
Dan seterusnya

Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD

1.    Periksa dahulu apakah PD nya merupakan PD eksak. Kalau merupakan PD eksak pakailah langkah J.

Kalau bukan merupakan PD eksak, carilah faktor integrasi yang cocok agar PD semula dapat tereduksi ke PD eksak

2.    Apabila faktor integrasi yang cocok tersebut adalah salah satu dari jenis 1 – jenis 4, maka pakailah langkah J untuk menentukan penyelesaian umum PD

3.    Apabila menggunakan faktor integrasi jenis 5, maka ada prosedur tersendiri yaitu mencari diferensial eksak dari kelompok bagian pertama dan kedua untuk mendapatkan harga  dan

Faktor integrasi yang diperoleh yaitu setelah  dan  disubstitusikan pada  akan mereduksi PD semula (tidak eksak) menjadi PD eksak. Gunakan langkah J

4.    Apabila menggunakan faktor integrasi coba-coba, maka tidak ada prosedur tertentu hanya pada dasarnya PD semula menjadi lebih sederhana dan mudah diselesaikan.

Contoh

Selesaikan PD berikut : (2y – x³) dx + x dy = 0

Solusi

M = 2y – x³ ,

N = x,

Karena  maka merupakan PD tidak eksak

Selanjutnya mencari faktor integrasi yang dapat meredaksi PD tidak eksak menjadi PD eksak

 =  = f(x) maka factor integrasinya adalah _e∫  dx = e^ln|x| = x

Selanjutnya PD semula tereduksi menjadi x[(2y – x³) dx + x dy] = 0

⇔ (2xy – x⁴) dx + x² dy = 0

Dari persamaan ini, berarti bahwa :

M = 2xy – x⁴,  

N = x²,  

Karena  = , maka PD yang telah tereduksi ini merupakan PD eksak.

Untuk mendapatkan solusi umum PD ini dapat digunakan langkah J

F(x, y) = c

Karena  = M maka f(x, y) = ∫x (2xy – x⁴) dx

                                        = x²y - x⁵ + (y)

Fungsi (y) dicari dengan mendeferensialkan parsil fungsi f(x, y) ini terhadap y

 

Karena  maka x² +  = x²

⇔  = 0

⇔  = k (konstanta)

Sehingga f(x, y) = x²y - x⁵ + k

   ⇔ c

Solusi umum PD eksak ini adalah merupakan solusi umum PD semula yang direduksi ke PD eksak

 Penyelesaian umum PD semula adalah x²y - x⁵ = c

L.    PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE PERTAMA

Bentuk PD :  + y P(x) = Q(x)

Persamaan ini mempunyai factor integrasi _e∫^{p(x) dx}

Penyelesaian umum PD ini adalah : _{y e}∫ ^{p(x) dx} = ∫Q(x) _e∫^{p(x) dx}  dx + c

Langkah-langkah mendapatkan penyelesaian umum PD :

1.    Tentukan factor integrasi

2.    Dapatkan penyelesaian umum PD dengan melakukan integrasi pada ruas kanan dari bentuk penyelesaian umum PD di atas.

Contoh

Selesaikan PD berikut :  + y = 2 + 2x

Solusi

Dari sini : P(x) = 1, Q(x) = 2 + 2x

Factor integrasi _e∫^{p(x) dx} = _e∫^dx = e^x

Solusi umum PD linier orde satu ini adalah :

Y . e^x = ∫(2 + 2x) e^x dx

          = 2∫e^x dx + 2∫ xe^x dx (gunakan rumus integrasi)

          = 2 e^x + 2[xe^x - ∫e^x dx]

          = 2 e^x + 2 xe^x – 2e^x + c

          = 2x e^x + c

      y  = (2x e^x + c) e^-x  

 Penyelesaian umum PD adalah : y = 2x + c e^-x 

M.  PERSAMAAN DIFERENSIAL BERNOULLI

N.   TRAYEKTORI

O.   TUGAS MANDIRI

Carilah persamaan diferensial dari himpunan garis lengkung :

4.    Y = C e^-4x, C adalah konstanta sembarang

5.    Y = A sin 3x + B cos 3x, A dan B adalah konstanta sembarang

6.    Y = x³ + A x² + Bx + C; A, B, dan C adalah konstanta sembarang

Solusi

4.    Karena hanya ada satu konstanta sembarang C, maka dibutuhkan 2 persamaan untuk mengeliminasi C tersebut dan order tertinggi dari turunannya adalah satu

Persamaan 1 : y = C e^-4x, turunkan terhadap x, diperoleh

Persamaan 2 : y =  

Dari persamaan 1, C = y e^4x. Maka persamaan 2 menjadi :

   sehingga

Jadi persamaan diferensial yang dicari adalah :

5.    Karena ada 2 konstanta sembarang (A dan B) maka dibutuhkan tiga persamaan untuk mengeliminasi A dan B serta order tertinggi dari turunannya adalah dua.

Persamaan 1 : y = A sin 3x + B cos 3x, turunkan terhadap x,  diperoleh :

Persamaan 2 :  = 3A cos 3x – 3B sin 3x, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 3 :  = -9A sin 3x – 9B cos 3x

Dari persamaan 1 dan 3 didapatkan bahwa  + 9y = 0

6.    Karena ada 3 konstanta sembarang (A, B, dan C)

Maka dibutuhkan empat persamaan untuk mengeliminasi A, B dan C serta order tertinggi dari turunannya adalah tiga

Persamaan 1 : y = x³ + Ax² + Bx + C, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 2 :  = 3x² + 2Ax + B, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 3 :  = 6x + 2A, turunkan terhadap x, diperoleh :

Persamaan 4 :  = 6

Jadilah persamaan diferensial yang dicari adalah  = 6

P.   TUGAS MANDIRI 4

4.    Carilah persamaan diferensial dari r = a(1 – cosφ), jika a adalah konstanta sembarang

5.    Carilah persamaan diferensial dari :

d.    Keluarga lingkaran dengan jari-jari r tetap yang berpusat pada sumbu x (Misal gunakan (x – c)² + y² = r² )

e.    Keluarga lingkaran dengan jari-jari r berubah (variable) yang berpusat pada sumbu x (Misal gunakan (x – c)² + y² = r² )

f.     Semua lingkaran di bidang (Misal gunakan x² + y² – 2Ax – 2By + c = 0)

6.    Dapatkan persamaan diferensial yang berhubungan dengan fungsi primitive yang diberikan, dimana A dan B adalah konstanta sembarang :

c.    Y = A e^x + B

d.    X = A sin (y + B)